Materi Matematika Kelas 11 Bab 9 - Bilangan kompleks

1. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner, dinyatakan dalam bentuk:

\[ z = a + bi \]

di mana:

• \( a \) adalah bagian real
• \( b \) adalah bagian imajiner
• \( i \) adalah bilangan imajiner dengan sifat \( i^2 = -1 \)

2. Operasi pada Bilangan Kompleks

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Jika \( z_1 = a + bi \) dan \( z_2 = c + di \), maka:

• Penjumlahan: \[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]
• Pengurangan: \[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \]

b. Perkalian

\[ z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]

Karena \( i^2 = -1 \), maka:

\[ z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

c. Pembagian

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \]

Untuk membagi dua bilangan kompleks, kalikan penyebut dan pembilang dengan konjugat \( z_2 \), yaitu \( c - di \).

3. Bentuk Polar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar:

\[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \]

di mana:

• \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) (modulus)
• \( \theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right) \) (argument)

4. Teorema De Moivre

Teorema De Moivre menyatakan bahwa:

\[ [r (\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta) \]

Ini berguna dalam perhitungan pangkat dan akar bilangan kompleks.

5. Contoh Soal

• Hitung hasil dari \( (2 + 3i) + (4 - i) \).
• Ubah bilangan kompleks \( 1 + i \) ke dalam bentuk polar.
• Gunakan teorema De Moivre untuk menghitung \( (1 + i)^4 \).