Materi Matematika Kelas 11 Bab 13 - Barisan dan deret

1. Pengertian

Barisan adalah urutan bilangan yang tersusun berdasarkan suatu pola tertentu. Jika jumlah anggota barisan tidak terbatas, maka disebut barisan tak hingga, sedangkan jika jumlah anggotanya terbatas, disebut barisan hingga.

Deret adalah jumlah dari elemen-elemen suatu barisan.

2. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki beda tetap \( b \) antara suku-suku yang berurutan.

Rumus suku ke-\( n \) dari barisan aritmetika:

\[ U_n = U_1 + (n-1) \cdot b \]

Rumus jumlah \( n \) suku pertama:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2U_1 + (n-1) \cdot b) \]

Contoh:

Diketahui barisan aritmetika: \( 3, 7, 11, 15, \dots \). Tentukan suku ke-10!

Penyelesaian:

• Diketahui \( U_1 = 3 \), beda \( b = 4 \).
• \( U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39 \).

3. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio tetap \( r \) antara suku-suku yang berurutan.

Rumus suku ke-\( n \) dari barisan geometri:

\[ U_n = U_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Rumus jumlah \( n \) suku pertama:

\[ S_n = U_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad \text{untuk } r \neq 1 \]

Contoh:

Diketahui barisan geometri: \( 2, 6, 18, 54, \dots \). Tentukan suku ke-6!

Penyelesaian:

• Diketahui \( U_1 = 2 \), rasio \( r = 3 \).
• \( U_6 = 2 \cdot 3^{(6-1)} = 2 \cdot 243 = 486 \).

4. Deret Tak Hingga

Untuk deret geometri tak hingga dengan \( |r| < 1 \), jumlahnya dapat dihitung dengan:

\[ S = \frac{U_1}{1 - r} \]

Contoh:

Diketahui deret geometri \( 4, 2, 1, \dots \), hitung jumlah tak hingga dari deret tersebut!

Penyelesaian:

• Diketahui \( U_1 = 4 \), \( r = 1/2 \).
• \( S = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \).