Logaritma

Logaritma

Logaritma adalah operasi invers dari eksponen. Jika suatu bilangan dipangkatkan untuk menghasilkan bilangan lain, maka logaritma menentukan pangkat yang digunakan.

Definisi Logaritma

Jika \( a^b = c \), maka dapat ditulis dalam bentuk logaritma sebagai:

\[ \log_a c = b \]

di mana:

• \( a \) adalah basis logaritma (bilangan pokok, \( a > 0, a \neq 1 \))
• \( b \) adalah hasil logaritma
• \( c \) adalah bilangan yang dihitung logaritmanya

Sifat-Sifat Logaritma

Beberapa sifat dasar logaritma yang sering digunakan:

1. \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
2. \( \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \)
3. \( \log_a (x^n) = n \log_a x \)
4. \( \log_a 1 = 0 \)
5. \( \log_a a = 1 \)
6. \( \log_a a^x = x \)
7. \( a^{\log_a x} = x \)
8. Perubahan basis: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)

Jenis-Jenis Logaritma

Logaritma memiliki beberapa bentuk khusus, antara lain:

• Logaritma Natural (\( \ln x \)): berbasis bilangan Euler \( e \) (\( \approx 2.718 \)), yaitu \( \ln x = \log_e x \).
• Logaritma Desimal (\( \log x \)): berbasis 10, yaitu \( \log x = \log_{10} x \).

Contoh Soal

1. Tentukan nilai \( \log_2 8 \).

Karena \( 2^3 = 8 \), maka:

\[ \log_2 8 = 3 \]

2. Hitung nilai \( \log_5 25 \).

Karena \( 5^2 = 25 \), maka:

\[ \log_5 25 = 2 \]

Kesimpulan

Logaritma adalah konsep yang digunakan untuk menyederhanakan operasi eksponen. Dengan memahami sifat-sifat logaritma, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan eksponensial.