Relativision
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Dalam kompleksitas dunia modern, jarang sekali sebuah masalah hanya bergantung pada satu variabel tunggal. Keputusan bisnis, alokasi sumber daya, perencanaan logistik, hingga analisis ilmiah seringkali melibatkan jaringan hubungan antara berbagai kuantitas yang saling mempengaruhi dan dibatasi oleh berbagai kendala. Matematika menyediakan sebuah kerangka kerja yang elegan dan kuat untuk menangani kompleksitas ini, yaitu melalui Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear. Bab ini bukan hanya tentang memecahkan \(x\) dan \(y\), melainkan tentang seni menerjemahkan masalah dunia nyata yang rumit ke dalam bahasa matematika yang terstruktur, menyelesaikannya secara sistematis, dan menginterpretasikan solusinya untuk membuat keputusan yang cerdas.
A. Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah fondasi dari banyak model matematika. Ini adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan linear yang variabel-variabelnya saling terkait. "Linear" berarti setiap variabel dalam persamaan hanya berpangkat satu, menghasilkan hubungan yang lurus dan dapat diprediksi. Solusi dari sebuah SPL adalah satu set nilai unik (atau tak hingga) untuk variabel-variabel tersebut yang secara ajaib memenuhi setiap persamaan dalam sistem secara serentak. Ini adalah titik "keseimbangan" di mana semua kondisi terpenuhi.
1. Seni Memodelkan
Langkah paling fundamental dan seringkali paling menantang adalah mengubah narasi masalah menjadi serangkaian persamaan aljabar yang rapi. Proses ini membutuhkan kemampuan untuk mengidentifikasi esensi dari masalah.
__**Contoh Mendalam:** Sebuah toko elektronik menjual tiga jenis paket aksesori komputer.
__- Paket A: 2 Mouse (\(m\)), 1 Keyboard (\(k\)), 1 Webcam (\(w\)) seharga Rp 430.000.
__- Paket B: 1 Mouse, 2 Keyboard, 1 Webcam seharga Rp 460.000.
__- Paket C: 1 Mouse, 1 Keyboard, 2 Webcam seharga Rp 470.000.
Berapa harga satuan untuk setiap item?
~{
Proses pemodelan yang cermat melibatkan langkah-langkah berikut:
1. Definisikan Variabel dengan Jelas: Ini adalah langkah dasar. Kita harus tahu apa yang kita cari.
* Misalkan \(m\) = harga satu buah Mouse (dalam Rupiah).
* Misalkan \(k\) = harga satu buah Keyboard (dalam Rupiah).
* Misalkan \(w\) = harga satu buah Webcam (dalam Rupiah).
2. Translasikan Setiap Kondisi menjadi Persamaan: Setiap paket merepresentasikan satu persamaan yang menghubungkan variabel-variabel tersebut.
* Dari Paket A: \(2m + 1k + 1w = 430000\) (Persamaan 1)
* Dari Paket B: \(1m + 2k + 1w = 460000\) (Persamaan 2)
* Dari Paket C: \(1m + 1k + 2w = 470000\) (Persamaan 3)
Kumpulan dari ketiga persamaan ini membentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), sebuah model matematika yang siap untuk dipecahkan.
}/~
2. Metode Penyelesaian Aljabar
Setelah model terbentuk, kita memerlukan strategi untuk menemukan solusinya. Metode gabungan eliminasi dan substitusi adalah pendekatan yang paling efisien dan umum digunakan. Tujuannya adalah mereduksi sistem yang kompleks (misalnya, 3 variabel) menjadi sistem yang lebih sederhana (2 variabel), dan akhirnya menjadi satu persamaan dengan satu variabel yang mudah dipecahkan.
* Strategi Eliminasi: Prinsipnya adalah "menghilangkan" satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan kelipatan dari dua persamaan. Ini hanya bisa dilakukan jika koefisien variabel yang ingin dihilangkan sama besar namun berlawanan tanda (untuk penjumlahan) atau sama persis (untuk pengurangan).
* Strategi Substitusi: Prinsipnya adalah "mengganti" sebuah variabel dalam satu persamaan dengan ekspresi ekuivalennya dari persamaan lain. Ini sangat berguna ketika salah satu persamaan dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk \(x = \dots\) atau \(y = \dots\).
~{
Penyelesaian Sistematis Contoh Aksesori:
1. Targetkan Satu Variabel untuk Dieliminasi: Mari kita pilih untuk menghilangkan variabel \(w\) terlebih dahulu. Kita akan melakukannya dua kali untuk mendapatkan dua persamaan baru tanpa \(w\).
2. Eliminasi Pertama (Persamaan 1 dan 2): Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1 (atau sebaliknya).
* \( (2m + k + w) - (m + 2k + w) = 430000 - 460000 \)
* \( m - k = -30000 \) (Persamaan 4)
3. Eliminasi Kedua (Persamaan 2 dan 3): Agar koefisien \(w\) sama, kalikan Persamaan 2 dengan 2.
* \(2 \times (m + 2k + w) \implies 2m + 4k + 2w = 920000\)
* Persamaan 3: \(m + k + 2w = 470000\)
* Kurangkan: \((2m - m) + (4k - k) + (2w - 2w) = 920000 - 470000\)
* \( m + 3k = 450000 \) (Persamaan 5)
4. Selesaikan SPL Dua Variabel yang Baru: Sekarang kita memiliki sistem yang lebih sederhana:
* \(m - k = -30000\) (Persamaan 4)
* \(m + 3k = 450000\) (Persamaan 5)
* Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5: \((m-m) + (3k - (-k)) = 450000 - (-30000)\)
* \(4k = 480000 \implies k = 120000\).
5. Lakukan Substitusi Mundur (Back-Substitution): Setelah satu nilai ditemukan, kita dapat dengan mudah menemukan yang lain.
* Substitusi \(k=120000\) ke Persamaan 4: \(m - 120000 = -30000 \implies m = 90000\).
* Substitusi \(m=90000\) dan \(k=120000\) ke Persamaan 1 (awal): \(2(90000) + 120000 + w = 430000 \implies 180000 + 120000 + w = 430000 \implies 300000 + w = 430000 \implies w = 130000\).
6. Solusi Akhir: Harga Mouse adalah Rp 90.000, Keyboard Rp 120.000, dan Webcam Rp 130.000.
}/~
3. Ragam Solusi
Setiap SPL tidak selalu menghasilkan satu solusi unik. Ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi, yang secara aljabar dapat diidentifikasi selama proses eliminasi.
1. Satu Solusi Unik (Konsisten dan Independen): Ini adalah kasus standar di mana proses eliminasi menghasilkan nilai spesifik untuk setiap variabel. Secara geometris, ini adalah titik potong tunggal dari semua garis atau bidang.
2. Tidak Ada Solusi (Inkonsisten): Jika selama proses eliminasi, Anda mendapatkan sebuah pernyataan kontradiktif yang secara matematis salah, seperti \(0 = 10\), maka sistem tersebut tidak memiliki solusi. Artinya, tidak ada satu pun set nilai yang bisa memenuhi semua kondisi secara bersamaan. Secara geometris, ini adalah garis-garis yang sejajar atau bidang-bidang yang tidak pernah berpotongan di titik yang sama.
3. Banyak Solusi Tak Terhingga (Konsisten dan Dependen): Jika selama proses eliminasi, Anda mendapatkan sebuah identitas yang selalu benar, seperti \(0 = 0\), maka sistem tersebut memiliki solusi tak terhingga. Ini berarti beberapa persamaan sebenarnya adalah informasi yang berlebihan (kelipatan dari persamaan lain). Solusinya bukan "semua bilangan," melainkan satu set bilangan yang tak terhingga banyaknya yang terikat dalam satu hubungan linear (misalnya, semua titik di sepanjang satu garis potong).
B. Sistem Pertidaksamaan Linear
Ketika masalah tidak menuntut kesetaraan yang kaku tetapi melibatkan batasan seperti "maksimal", "minimal", "tidak kurang dari", atau "setidaknya", kita memasuki dunia Pertidaksamaan Linear. Solusi dari sebuah pertidaksamaan linear bukanlah sebuah titik, melainkan sebuah daerah kemungkinan yang luas pada grafik. Solusi dari sebuah sistem pertidaksamaan adalah irisan atau tumpang tindih dari semua daerah kemungkinan tersebut.
1. Memodelkan dengan Batasan
Model pertidaksamaan menangkap kendala-kendala dalam suatu masalah.
__**Contoh Mendalam:** Seorang pengusaha kecil memproduksi meja (\(x\)) dan kursi (\(y\)).
__- Waktu Produksi: Setiap meja membutuhkan 2 jam kerja dan setiap kursi membutuhkan 3 jam kerja. Total jam kerja yang tersedia per minggu adalah 120 jam.
__- Bahan Baku: Setiap meja membutuhkan 1 unit kayu dan setiap kursi membutuhkan 2 unit kayu. Stok kayu yang tersedia per minggu adalah 80 unit.
__- Kondisi Non-negatif: Jumlah meja dan kursi yang diproduksi tidak mungkin negatif.
~{
1. Identifikasi Variabel:
* \(x\) = jumlah meja yang diproduksi.
* \(y\) = jumlah kursi yang diproduksi.
2. Terjemahkan Setiap Batasan (Kendala):
* Kendala Waktu: Total jam kerja untuk meja (\(2x\)) dan kursi (\(3y\)) tidak boleh melebihi 120 jam.
$$ 2x + 3y \le 120 $$
* Kendala Bahan: Total kayu untuk meja (\(1x\)) dan kursi (\(2y\)) tidak boleh melebihi 80 unit.
$$ x + 2y \le 80 $$
* Kendala Non-negatif:
$$ x \ge 0 $$
$$ y \ge 0 $$
Keempat pertidaksamaan ini membentuk sebuah sistem yang mendefinisikan semua kombinasi produksi meja dan kursi yang mungkin (feasible).
}/~
2. Penyelesaian Grafis
Cara terbaik untuk memahami solusi dari sistem pertidaksamaan adalah dengan menggambarkannya.
~{
Langkah-langkah Visualisasi:
1. Gambarkan Garis Batas untuk Setiap Pertidaksamaan: Anggap setiap pertidaksamaan sebagai persamaan (\(2x + 3y = 120\), \(x + 2y = 80\), \(x=0\), \(y=0\)). Gambarkan garis-garis ini pada sistem koordinat.
Gunakan *garis solid (tidak putus-putus)** untuk \(\le\) atau \(\ge\), karena titik-titik pada garis itu sendiri termasuk dalam solusi.
Gunakan *garis putus-putus** untuk \(<\) atau \(>\), karena titik-titik pada garis batas tidak termasuk solusi.
2. Tentukan Daerah yang Sesuai (Arsiran): Untuk setiap garis, tentukan daerah mana yang memenuhi pertidaksamaan. Cara termudah adalah dengan uji titik. Ambil titik (0,0) jika tidak dilewati garis.
* Untuk \(2x + 3y \le 120\): Uji (0,0) \(\implies 0 \le 120\). Benar. Jadi, arsir daerah yang mengandung (0,0).
* Untuk \(x + 2y \le 80\): Uji (0,0) \(\implies 0 \le 80\). Benar. Arsir daerah yang mengandung (0,0).
* Untuk \(x \ge 0\), ini adalah daerah di sebelah kanan sumbu-y.
* Untuk \(y \ge 0\), ini adalah daerah di atas sumbu-x.
3. Identifikasi Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP): DHP adalah area di mana semua arsiran bertemu. Ini adalah wilayah poligon yang berisi setiap kemungkinan kombinasi produksi \((x, y)\) yang valid. Setiap titik di dalam atau di batas DHP ini adalah solusi yang mungkin untuk masalah tersebut.
}/~
Kesimpulan
Bab ini telah menunjukkan bahwa sistem linear adalah lebih dari sekadar latihan aljabar. Ia adalah bahasa yang kuat untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah-masalah dunia nyata yang kompleks dan penuh batasan. Sistem persamaan membantu kita menemukan nilai-nilai spesifik di mana semua kondisi terpenuhi secara tepat, sementara sistem pertidaksamaan membantu kita menavigasi dan memahami batasan-batasan untuk menemukan seluruh rentang kemungkinan solusi. Menguasai kemampuan untuk beralih antara narasi masalah, model matematika, dan interpretasi solusi adalah inti dari pemikiran analitis dan kuantitatif.
Latihan Soal
Tingkat Mudah (Dasar & Definisi)
Seorang anak membeli 2 pulpen (\(p\)) dan 1 buku (\(b\)) dengan total harga Rp 7.000. Temannya membeli 3 pulpen dan 2 buku yang sama dengan total harga Rp 12.000. Model matematika yang tepat untuk situasi ini adalah...
__A. \(2p + b = 12000\) dan \(3p + 2b = 7000\)
__B. \(p + 2b = 7000\) dan \(2p + 3b = 12000\)
__C. \(2p + b = 7000\) dan \(3p + 2b = 12000\)
__D. \(2p - b = 7000\) dan \(3p - 2b = 12000\)
~ Pembahasan: Langkah pertama adalah mendefinisikan variabel, yaitu \(p\) untuk harga pulpen dan \(b\) untuk harga buku. Kemudian, terjemahkan setiap kalimat menjadi persamaan. "2 pulpen dan 1 buku seharga Rp 7.000" menjadi \(2p + b = 7000\). "3 pulpen dan 2 buku seharga Rp 12.000" menjadi \(3p + 2b = 12000\)./~
Dalam proses penyelesaian sebuah sistem persamaan linear, didapatkan sebuah pernyataan akhir \(0 = 8\). Apa kesimpulan yang dapat ditarik mengenai solusi sistem tersebut?
__A. Sistem memiliki satu solusi unik.
__B. Sistem memiliki banyak solusi tak terhingga.
__C. Sistem tidak memiliki solusi (inkonsisten).
__D. Sistem memiliki solusi di titik (0, 8).
~ Pembahasan: Sesuai penjelasan mengenai "Ragam Solusi", jika proses eliminasi menghasilkan sebuah pernyataan kontradiktif yang secara matematis salah (seperti \(0 = 8\)), maka sistem tersebut tidak memiliki solusi. Ini berarti tidak ada nilai variabel yang bisa memenuhi semua persamaan secara bersamaan./~
3. Sebuah area parkir dapat menampung maksimal 30 kendaraan, yang terdiri dari mobil (\(x\)) dan motor (\(y\)). Pertidaksamaan yang merepresentasikan batasan jumlah kendaraan adalah...
__A. \(x + y > 30\)
__B. \(x + y \ge 30\)
__C. \(x + y < 30\)
__D. \(x + y \le 30\)
~ Pembahasan: Kata kunci "maksimal 30" berarti jumlah total kendaraan (mobil + motor) bisa kurang dari 30 atau sama dengan 30, tetapi tidak boleh lebih. Lambang matematika untuk "kurang dari atau sama dengan" adalah \(\le\). Jadi, pertidaksamaannya adalah \(x + y \le 30\)./~
Apa yang direpresentasikan oleh Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) pada grafik sebuah sistem pertidaksamaan linear?
__A. Hanya satu titik solusi yang mungkin.
__B. Semua kemungkinan kombinasi nilai variabel yang memenuhi semua batasan secara serentak.
__C. Titik potong dari dua garis batas.
__D. Daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan manapun.
~ Pembahasan: Seperti yang dijelaskan dalam teks, DHP adalah irisan dari semua daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan. Setiap titik di dalam atau di batas DHP ini adalah solusi yang valid atau mungkin untuk masalah tersebut, yang berarti DHP merepresentasikan semua kemungkinan solusi./~
Garis batas untuk pertidaksamaan \(5x - 2y < 10\) harus digambarkan sebagai...
__A. Garis solid karena ada tanda sama dengan.
__B. Garis putus-putus karena tidak ada tanda sama dengan.
__C. Garis vertikal.
__D. Garis horizontal.
~ Pembahasan: Tanda pertidaksamaan \(<\) (kurang dari) atau \(>\) (lebih dari) menunjukkan bahwa titik-titik pada garis batas itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan solusi. Oleh karena itu, garisnya digambarkan putus-putus./~
Titik manakah di bawah ini yang merupakan solusi dari pertidaksamaan \(3x + y > 6\)?
__A. (1, 1)
__B. (0, 6)
__C. (2, 0)
__D. (2, 1)
~ Pembahasan: Kita uji setiap titik dengan mensubstitusikannya ke dalam pertidaksamaan:
A. \(3(1) + 1 = 4\), dan \(4 > 6\) adalah salah.
B. \(3(0) + 6 = 6\), dan \(6 > 6\) adalah salah.
C. \(3(2) + 0 = 6\), dan \(6 > 6\) adalah salah.
D. \(3(2) + 1 = 7\), dan \(7 > 6\) adalah benar.
Jadi, (2, 1) adalah salah satu solusinya./~
Secara geometris, apa yang direpresentasikan oleh sistem persamaan linear dua variabel yang memiliki solusi tak terhingga?
__A. Dua garis yang sejajar dan tidak pernah bertemu.
__B. Dua garis yang saling tegak lurus.
__C. Dua garis yang berpotongan tepat di satu titik.
__D. Dua garis yang berimpit (saling menumpuk).
~ Pembahasan: Solusi tak terhingga berarti setiap titik pada garis pertama juga merupakan solusi untuk persamaan kedua. Ini hanya terjadi jika kedua persamaan tersebut sebenarnya merepresentasikan garis yang sama, atau dengan kata lain, kedua garis tersebut berimpit./~
"Jumlah dua bilangan adalah 25". Jika bilangan pertama adalah \(x\) dan bilangan kedua adalah \(y\), persamaan yang tepat adalah...
__A. \(x - y = 25\)
__B. \(xy = 25\)
__C. \(x + y = 25\)
__D. \(y - x = 25\)
~ Pembahasan: "Jumlah" berarti hasil dari operasi penjumlahan. Jadi, menjumlahkan bilangan pertama (\(x\)) dan bilangan kedua (\(y\)) menghasilkan 25, yang ditulis sebagai \(x + y = 25\)./~
Batasan "jumlah kursi (\(y\)) yang diproduksi paling sedikit 10 unit" dapat ditulis sebagai...
__A. \(y < 10\)
__B. \(y > 10\)
__C. \(y \le 10\)
__D. \(y \ge 10\)
~ Pembahasan: "Paling sedikit 10" berarti jumlahnya bisa 10 atau lebih dari 10. Lambang matematika untuk "lebih dari atau sama dengan" adalah \(\ge\). Jadi, pertidaksamaannya adalah \(y \ge 10\)./~
Jika \(x = 5\) adalah solusi dari persamaan \(2x + 3y = 22\), maka nilai \(y\) adalah...
__A. 3
__B. 4
__C. 5
__D. 6
~ Pembahasan: Substitusikan nilai \(x=5\) ke dalam persamaan: \(2(5) + 3y = 22 \implies 10 + 3y = 22 \implies 3y = 12 \implies y = 4\)./~
Tingkat Sedang (Kombinasi Sifat & Perhitungan)
Harga 3 baju dan 2 celana adalah Rp 480.000. Sedangkan harga 2 baju dan 1 celana yang sama adalah Rp 280.000. Berapakah harga satu baju?
__A. Rp 60.000
__B. Rp 80.000
__C. Rp 100.000
__D. Rp 120.000
~ Pembahasan: Misal \(b\) = harga baju dan \(c\) = harga celana. Modelnya:
1) \(3b + 2c = 480000\)
2) \(2b + c = 280000\)
Gunakan metode gabungan. Kalikan persamaan (2) dengan 2 untuk mengeliminasi \(c\): \(4b + 2c = 560000\).
Kurangkan persamaan (1) dari hasil ini: \((4b - 3b) + (2c - 2c) = 560000 - 480000\), sehingga didapat \(b = 80000\). Jadi, harga satu baju adalah Rp 80.000./~
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
\(x + y + z = 12\)
\(2x - y + z = 9\)
\(x + 2y - z = 9\)
__A. \(x=3, y=4, z=5\)
__B. \(x=5, y=4, z=3\)
__C. \(x=4, y=5, z=3\)
__D. \(x=5, y=3, z=4\)
~ Pembahasan: Eliminasi \(z\) dari pers. (1) dan (2): \((2x-x) + (-y-y) + (z-z) = 9-12 \implies x - 2y = -3\) (Pers. 4).
Eliminasi \(z\) dengan menjumlahkan pers. (1) dan (3): \((x+x) + (y+2y) + (z-z) = 12+9 \implies 2x + 3y = 21\) (Pers. 5).
Sekarang selesaikan sistem baru. Kalikan pers. (4) dengan 2: \(2x - 4y = -6\).
Kurangkan dari pers. (5): \((2x-2x) + (3y - (-4y)) = 21 - (-6) \implies 7y = 28 \implies y = 4\).
Substitusi \(y=4\) ke pers. (4): \(x - 2(4) = -3 \implies x - 8 = -3 \implies x = 5\).
Substitusi \(x=5, y=4\) ke pers. (1): \(5 + 4 + z = 12 \implies 9 + z = 12 \implies z = 3\).
Solusinya adalah \(x=5, y=4, z=3\)./~
Sebuah pabrik roti memiliki batasan bahan sebagai berikut: tidak lebih dari 150 kg tepung dan tidak lebih dari 60 kg gula. Untuk membuat satu roti keju (\(x\)) dibutuhkan 3 kg tepung dan 1 kg gula. Untuk membuat satu roti cokelat (\(y\)) dibutuhkan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Manakah titik berikut yang BUKAN merupakan solusi produksi yang mungkin?
__A. (30, 30)
__B. (40, 10)
__C. (20, 40)
__D. (50, 5)
~ Pembahasan: Model pertidaksamaannya adalah:
Tepung: \(3x + 2y \le 150\)
Gula: \(x + y \le 60\)
\(x \ge 0, y \ge 0\)
Kita uji setiap titik:
A. (30, 30): \(3(30)+2(30)=150 \le 150\) (OK); \(30+30=60 \le 60\) (OK). Ini solusi.
B. (40, 10): \(3(40)+2(10)=140 \le 150\) (OK); \(40+10=50 \le 60\) (OK). Ini solusi.
C. (20, 40): \(3(20)+2(40)=140 \le 150\) (OK); \(20+40=60 \le 60\) (OK). Ini solusi.
D. (50, 5): \(3(50)+2(5)=155 \not\le 150\) (Gagal). Titik ini melanggar batasan tepung. Jadi, ini BUKAN solusi yang mungkin./~
Umur ayah sekarang 3 kali umur anaknya. Lima tahun yang lalu, jumlah umur keduanya adalah 46 tahun. Berapakah umur anak sekarang?
__A. 12 tahun
__B. 14 tahun
__C. 15 tahun
__D. 16 tahun
~ Pembahasan: Misal \(a\) = umur ayah sekarang, \(n\) = umur anak sekarang.
1) \(a = 3n\)
2) \((a-5) + (n-5) = 46 \implies a + n - 10 = 46 \implies a + n = 56\)
Substitusikan pers. (1) ke pers. (2): \(3n + n = 56 \implies 4n = 56 \implies n = 14\).
Umur anak sekarang adalah 14 tahun./~
Jika \((x_0, y_0)\) adalah solusi dari sistem \(2x + y = 7\) dan \(3x - 2y = 0\), maka nilai dari \(x_0 + 2y_0\) adalah...
__A. 5
__B. 6
__C. 7
__D. 8
~ Pembahasan: Dari pers. pertama, \(y = 7 - 2x\). Substitusikan ke pers. kedua:
\(3x - 2(7 - 2x) = 0 \implies 3x - 14 + 4x = 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2\).
Maka \(y = 7 - 2(2) = 3\). Solusinya adalah \((x_0, y_0) = (2, 3)\).
Nilai yang dicari: \(x_0 + 2y_0 = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8\)./~
Di sebuah tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri dari motor dan mobil. Jika dihitung, jumlah seluruh roda adalah 244. Berapa banyak mobil di tempat parkir tersebut?
__A. 32
__B. 38
__C. 46
__D. 52
~ Pembahasan: Misal \(m\) = motor, \(b\) = mobil.
1) \(m + b = 84 \implies m = 84 - b\)
2) \(2m + 4b = 244\) (motor punya 2 roda, mobil 4)
Substitusikan (1) ke (2): \(2(84 - b) + 4b = 244 \implies 168 - 2b + 4b = 244 \implies 2b = 76 \implies b = 38\).
Terdapat 38 mobil./~
Tentukan sistem pertidaksamaan untuk daerah yang diarsir pada grafik (asumsikan garis solid) yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis yang melalui titik (4,0) dan (0,5).
__A. \(5x+4y \ge 20, x \ge 0, y \ge 0\)
__B. \(4x+5y \le 20, x \ge 0, y \ge 0\)
__C. \(5x+4y \le 20, x \ge 0, y \ge 0\)
__D. \(4x+5y \ge 20, x \ge 0, y \ge 0\)
~ Pembahasan: Persamaan garis yang melalui (a,0) dan (0,b) adalah \(bx+ay=ab\). Jadi, garis melalui (4,0) dan (0,5) adalah \(5x+4y=20\). Karena daerah yang diarsir berada di bawah garis dan mendekati (0,0), tandanya adalah \(\le\). Batasan sumbu x dan y berarti \(x \ge 0\) dan \(y \ge 0\). Sistemnya: \(5x+4y \le 20, x \ge 0, y \ge 0\). /~
Himpunan penyelesaian dari sistem \(y = x^2 - 2x + 1\) dan \(y = x + 1\) adalah...
__A. \((0,1), (3,4)\)
__B. \((1,2), (2,3)\)
__C. \((0,1), (2,3)\)
__D. \((1,0), (4,3)\)
~ Pembahasan: Ini adalah sistem persamaan linear-kuadrat. Substitusikan \(y\) dari pers. linear ke kuadrat: \(x+1 = x^2 - 2x + 1 \implies 0 = x^2 - 3x \implies 0 = x(x-3)\).
Didapat \(x=0\) atau \(x=3\).
Jika \(x=0\), maka \(y = 0+1 = 1\). Titik (0,1).
Jika \(x=3\), maka \(y = 3+1 = 4\). Titik (3,4).
Himpunan penyelesaiannya adalah \{(0,1), (3,4)\}./~
Diberikan sistem persamaan \(x-y=5\) dan \(y-z=2\). Nilai dari \(x-z\) adalah...
__A. 3
__B. 5
__C. 7
__D. 10
~ Pembahasan: Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan eliminasi. Tulis kedua persamaan:
1) \(x - y = 5\)
2) \(y - z = 2\)
Jumlahkan kedua persamaan tersebut: \((x - y) + (y - z) = 5 + 2\). Variabel \(y\) akan saling menghilangkan: \(x - z = 7\)./~
Penyelesaian dari sistem \( \frac{x}{2} + y = 5 \) dan \( x - y = 1 \) adalah...
__A. \(x=5, y=4\)
__B. \(x=4, y=3\)
__C. \(x=6, y=5\)
__D. \(x=2, y=1\)
~ Pembahasan: Dari persamaan kedua, kita dapat tulis \(x = y + 1\).
Substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan pertama: \(\frac{y+1}{2} + y = 5\).
Kalikan seluruh persamaan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan: \((y+1) + 2y = 10\).
Sederhanakan: \(3y + 1 = 10 \implies 3y = 9 \implies y = 3\).
Substitusikan nilai \(y=3\) kembali ke \(x = y + 1\), maka \(x = 3 + 1 = 4\).
Jadi, solusinya adalah \(x=4, y=3\)./~
Tingkat Sulit (Aplikasi Kompleks & Pemecahan Masalah)
Sebuah kios buah menjual tiga paket bingkisan.
- Paket 1: 1 kg Apel, 2 kg Anggur, 2 kg Jeruk seharga Rp 184.000.
- Paket 2: 2 kg Apel, 1 kg Anggur, 2 kg Jeruk seharga Rp 168.000.
- Paket 3: 2 kg Apel, 2 kg Anggur, 1 kg Jeruk seharga Rp 204.000.
Seorang pelanggan ingin membeli 1 kg Apel, 1 kg Anggur, dan 1 kg Jeruk. Berapa total yang harus ia bayar?
__A. Rp 96.000
__B. Rp 102.000
__C. Rp 108.000
__D. Rp 111.200
~ Pembahasan: Misal \(a, g, j\) adalah harga per kg.
1) \(a + 2g + 2j = 184000\)
2) \(2a + g + 2j = 168000\)
3) \(2a + 2g + j = 204000\)
Trik: Jumlahkan ketiga persamaan: \(5a + 5g + 5j = 556000\).
Bagi kedua sisi dengan 5: \(a + g + j = 111200\).
Total yang harus dibayar untuk 1 kg setiap buah adalah Rp 111.200./~
Diberikan sistem pertidaksamaan \(x + 2y \le 10\), \(3x + y \le 15\), \(x \ge 0\), dan \(y \ge 0\). Titik-titik sudut dari Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) adalah (0,0), (5,0), (0,5), dan satu titik potong lainnya. Berapakah koordinat titik potong tersebut?
__A. (4, 3)
__B. (3, 4)
__C. (2, 4)
__D. (4, 2)
~ Pembahasan: Titik potong yang dimaksud adalah perpotongan antara dua garis batas \(x + 2y = 10\) dan \(3x + y = 15\). Kita selesaikan sistem persamaan ini.
Dari pers. kedua: \(y = 15 - 3x\).
Substitusikan ke pers. pertama: \(x + 2(15 - 3x) = 10\).
\(x + 30 - 6x = 10\)
\(-5x = -20 \implies x = 4\).
Substitusikan \(x=4\) kembali ke \(y = 15 - 3x\): \(y = 15 - 3(4) = 15 - 12 = 3\).
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (4, 3)./~
Agar sistem persamaan linear \(kx + 4y = 6\) dan \(3x + 2y = 3\) memiliki banyak solusi tak terhingga, berapakah nilai \(k\) yang harus dipenuhi?
__A. 2
__B. 3
__C. 4
__D. 6
~ Pembahasan: Sistem memiliki banyak solusi tak terhingga jika kedua persamaan tersebut sebenarnya adalah persamaan yang sama (dependen), artinya satu persamaan adalah kelipatan dari yang lain.
Persamaan kedua: \(3x + 2y = 3\).
Persamaan pertama: \(kx + 4y = 6\).
Perhatikan bahwa konstanta dan koefisien \(y\) pada persamaan pertama adalah dua kali lipat dari persamaan kedua (\(4y\) adalah \(2 \times 2y\), dan \(6\) adalah \(2 \times 3\)). Agar seluruh persamaan menjadi kelipatan dua, koefisien \(x\) juga harus merupakan kelipatan dua.
Maka, \(k\) harus sama dengan \(2 \times 3 = 6\). Jika \(k=6\), persamaan pertama menjadi \(6x + 4y = 6\), yang merupakan dua kali lipat dari \(3x + 2y = 3\)./~
Sebuah perahu bergerak sejauh 52 km dalam 4 jam saat melawan arus. Saat searah dengan arus, perahu tersebut dapat menempuh 48 km dalam 3 jam. Berapakah kecepatan perahu di air tenang?
__A. 13 km/jam
__B. 14,5 km/jam
__C. 16 km/jam
__D. 1,5 km/jam
~ Pembahasan: Misal \(v_p\) = kecepatan perahu, \(v_a\) = kecepatan arus.
Melawan arus: kecepatan = \(v_p - v_a\). Jarak = kecepatan × waktu \(\implies 52 = (v_p - v_a) \times 4 \implies v_p - v_a = 13\).
Searah arus: kecepatan = \(v_p + v_a\). Jarak = kecepatan × waktu \(\implies 48 = (v_p + v_a) \times 3 \implies v_p + v_a = 16\).
Kita punya sistem:
1) \(v_p - v_a = 13\)
2) \(v_p + v_a = 16\)
Jumlahkan kedua persamaan: \(2v_p = 29 \implies v_p = 14,5\). Kecepatan perahu adalah 14,5 km/jam./~
Selesaikan sistem persamaan berikut:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)
__A. \(x=2, y=3\)
__B. \(x=3, y=2\)
__C. \(x=1/2, y=1/3\)
__D. \(x=6, y=5\)
~ Pembahasan: Misalkan \(A = \frac{1}{x}\) dan \(B = \frac{1}{y}\). Sistemnya menjadi:
1) \(A + B = 5/6\)
2) \(A - B = 1/6\)
Jumlahkan (1) dan (2): \(2A = 6/6 = 1 \implies A = 1/2\).
Maka \(\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \implies x = 2\).
Substitusi \(A=1/2\) ke (1): \(1/2 + B = 5/6 \implies B = 5/6 - 3/6 = 2/6 = 1/3\).
Maka \(\frac{1}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3\).
Solusinya adalah \(x=2, y=3\)./~
Tentukan luas daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan \(x \ge 0, y \ge 0, x \le 6, x+y \le 8\).
__A. 30 satuan luas
__B. 36 satuan luas
__C. 48 satuan luas
__D. 28 satuan luas
~ Pembahasan: Daerah ini berbentuk trapesium. Titik-titik sudut DHP adalah (0,0), (6,0), titik potong \(x=6\) dan \(x+y=8\) yaitu (6,2), dan (0,8).
Bentuknya adalah trapesium dengan sisi sejajar vertikal sepanjang 8 satuan (di sumbu y) dan 2 satuan (di garis x=6), dan tinggi horizontal sepanjang 6 satuan.
Luas = \(\frac{1}{2} \times (\text{jumlah sisi sejajar}) \times \text{tinggi} = \frac{1}{2} \times (8+2) \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30\).
Luasnya adalah 30 satuan luas./~
Jika sistem persamaan \(ax + y = 3\) dan \(4x + 2y = 6\) memiliki solusi tak terhingga, dan sistem \(2x + by = 4\) dan \(x - 2y = 3\) tidak memiliki solusi, maka nilai \(a+b\) adalah...
__A. -2
__B. -1
__C. 0
__D. 2
~ Pembahasan:
Sistem 1: Agar memiliki solusi tak hingga, pers. kedua (\(4x+2y=6\)) harus kelipatan dari pers. pertama. Pers. kedua adalah 2 kali \(2x+y=3\). Maka, pers. pertama haruslah \(2x+y=3\), yang berarti \(a=2\).
Sistem 2: Agar tidak punya solusi (inkonsisten), garis harus sejajar tapi tidak berimpit. Rasio koefisien x dan y harus sama, tapi berbeda dengan rasio konstanta.
Rasio koefisien: \( \frac{2}{1} = \frac{b}{-2} \implies b = -4\).
Rasio konstanta: \( \frac{4}{3} \).
Karena rasio koefisien (\(2\)) tidak sama dengan rasio konstanta (\(\frac{4}{3}\)), maka kondisi untuk tidak memiliki solusi terpenuhi dengan \(b = -4\).
Nilai \(a+b = 2 + (-4) = -2\)./~
Jumlah tiga bilangan adalah 20. Bilangan pertama ditambah bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga. Bilangan kedua dikali dua kemudian dikurangi bilangan pertama sama dengan 8. Bilangan terbesarnya adalah...
__A. 8
__B. 9
__C. 10
__D. 12
~ Pembahasan: Misal bilangan itu \(x, y, z\).
1) \(x+y+z = 20\)
2) \(x+y = z\)
3) \(2y - x = 8 \implies x = 2y-8\)
Substitusikan (2) ke (1): \(z + z = 20 \implies 2z = 20 \implies z = 10\).
Maka \(x+y = 10\).
Substitusikan (3) ke \(x+y=10\): \((2y-8) + y = 10 \implies 3y = 18 \implies y = 6\).
Maka \(x = 2(6) - 8 = 12-8 = 4\).
Ketiga bilangan adalah 4, 6, dan 10. Yang terbesar adalah 10./~
Carilah himpunan penyelesaian dari sistem: \(x+y-z = 0\), \(x-y-z = 4\), \(x-y+z = -2\).
__A. \((-1, -2, -3)\)
__B. \((1, 2, 3)\)
__C. \((1, -3, -2)\)
__D. \((2, -1, 1)\)
~ Pembahasan:
1) \(x+y-z = 0\)
2) \(x-y-z = 4\)
3) \(x-y+z = -2\)
Jumlahkan persamaan (2) dan (3): \((x-y-z) + (x-y+z) = 4 + (-2) \implies 2x - 2y = 2 \implies x-y = 1\).
Kurangkan persamaan (2) dari (1): \((x+y-z) - (x-y-z) = 0 - 4 \implies 2y = -4 \implies y = -2\).
Substitusikan \(y=-2\) ke \(x-y=1\): \(x-(-2)=1 \implies x+2=1 \implies x=-1\).
Substitusikan \(x=-1, y=-2\) ke persamaan (1): \(-1 + (-2) - z = 0 \implies -3 - z = 0 \implies z = -3\).
Solusinya adalah \((-1, -2, -3)\)./~
Sebuah perusahaan ingin mengangkut setidaknya 600 ton barang. Perusahaan tersebut menyewa dua jenis truk. Truk jenis A (\(x\)) dapat mengangkut 30 ton dan truk jenis B (\(y\)) dapat mengangkut 20 ton. Perusahaan hanya dapat menyewa maksimal 25 truk. Model matematika yang benar adalah...
__A. \(30x+20y \le 600; x+y \ge 25; x \ge 0; y \ge 0\)
__B. \(30x+20y \ge 600; x+y \le 25; x \ge 0; y \ge 0\)
__C. \(20x+30y \ge 600; x+y \le 25; x \ge 0; y \ge 0\)
__D. \(30x+20y \ge 600; x+y \ge 25; x \ge 0; y \ge 0\)
~ Pembahasan:
- Muatan: "setidaknya 600 ton" berarti total muatan harus lebih dari atau sama dengan 600. Total muatan adalah \(30x + 20y\). Pertidaksamaannya: \(30x + 20y \ge 600\).
- Jumlah truk: "maksimal 25 truk" berarti total truk harus kurang dari atau sama dengan 25. Total truk adalah \(x+y\). Pertidaksamaannya: \(x+y \le 25\).
- Kondisi non-negatif: Jumlah truk tidak mungkin negatif, jadi \(x \ge 0, y \ge 0\).
Sistem yang benar adalah yang ada di pilihan B./~
