Membaca Pola Dunia - Barisan dan Deret

Bab ini menyelami konsep fundamental dalam matematika mengenai pola numerik, yaitu barisan dan deret. Konsep ini adalah alat esensial untuk memodelkan fenomena pertumbuhan, akumulasi, dan perubahan yang teratur di dunia nyata, mulai dari susunan kursi di gedung pertunjukan hingga perhitungan bunga majemuk dalam investasi.

A. Barisan (Sequences): Rangkaian Angka yang Teratur

Barisan adalah daftar bilangan yang diatur dalam urutan tertentu. Setiap bilangan dalam daftar ini disebut suku. Kunci dari sebuah barisan matematis adalah adanya aturan konsisten yang menghubungkan satu suku dengan suku berikutnya.

1. Barisan Aritmetika: Pola dengan Langkah yang Konsisten

__Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan di mana selisih antara setiap dua suku yang berurutan selalu konstan. Selisih konstan ini disebut beda dan dilambangkan dengan \(b\).

__Contoh: Susunan kursi dari penggabungan meja membentuk barisan \(4, 6, 8, 10, ...\). Beda dari barisan ini adalah \(b = 2\).

~Untuk menemukan suku ke-n (\(U_n\)) dari barisan aritmetika, kita dapat melihat polanya. Suku pertama adalah \(a\). Suku kedua adalah \(a+b\). Suku ketiga adalah \(a+2b\), dan seterusnya. Terlihat bahwa untuk mendapatkan suku ke-n, kita menambahkan \( (n-1) \) kali beda ke suku pertama. Ini menghasilkan rumus umum./~

__Rumus umum untuk mencari suku ke-n pada barisan aritmetika adalah:

$$ U_n = a + (n - 1)b $$

__Di mana:

__\(U_n\) = Suku ke-n

__\(a\) = Suku pertama (\(U_1\))

__\(n\) = Nomor suku

__\(b\) = Beda

2. Barisan Geometri: Pola dengan Lompatan Eksponensial

__Barisan Geometri adalah barisan bilangan di mana rasio antara setiap dua suku yang berurutan selalu konstan. Rasio konstan ini disebut rasio dan dilambangkan dengan \(r\).

__Contoh: Proses melipat kertas menghasilkan barisan jumlah bagian: \(2, 4, 8, 16, ...\). Rasio dari barisan ini adalah \(r = 2\).

~Pola pembentukan suku pada barisan geometri adalah perkalian. Suku pertama adalah \(a\). Suku kedua adalah \(a \cdot r\). Suku ketiga adalah \(a \cdot r^2\), dan seterusnya. Untuk mendapatkan suku ke-n, kita mengalikan suku pertama dengan rasio sebanyak \( (n-1) \) kali. Ini membentuk rumus umum barisan geometri./~

__Rumus umum untuk mencari suku ke-n pada barisan geometri adalah:

$$ U_n = a \cdot r^{n-1} $$

__Di mana:

__\(U_n\) = Suku ke-n

__\(a\) = Suku pertama (\(U_1\))

__\(n\) = Nomor suku

__\(r\) = Rasio

B. Deret (Series): Menjumlahkan Rangkaian Angka

Ketika kita menjumlahkan suku-suku dari sebuah barisan, kita menciptakan sebuah deret. Jumlah \(n\) suku pertama dari sebuah deret dilambangkan dengan \(S_n\).

1. Deret Aritmetika

__Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan suku-suku dari barisan aritmetika. Terdapat dua rumus utama untuk menghitung jumlah \(n\) suku pertama.

~Rumus pertama didasarkan pada metode Gauss yang memasangkan suku pertama dengan suku terakhir. Jumlah deret adalah jumlah pasangan dikalikan dengan jumlah setiap pasangan. Jumlah pasangan adalah \( \frac{n}{2} \) dan jumlah setiap pasangan adalah \( a + U_n \). Rumus kedua didapat dengan mensubstitusikan rumus \(U_n\) ke dalam rumus pertama./~

__Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret aritmetika:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a + U_n) \quad $$

$$ {atau} $$

$$ \quad S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b] $$

2. Deret Geometri

__Deret geometri adalah hasil penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Rumus untuk menghitung jumlahnya bergantung pada nilai rasio \(r\).

__Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri:

$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad \text{untuk } r \neq 1 $$

3. Deret Geometri Tak Hingga

__Dalam kondisi tertentu, kita bisa menjumlahkan deret geometri yang memiliki suku tak terhingga. Deret ini disebut konvergen jika nilai mutlak rasionya kurang dari 1 (\(|r| < 1\)), artinya jumlahnya akan mendekati suatu nilai batas.

~Konsepnya adalah saat \( |r| < 1 \), nilai \( r^n \) akan mendekati 0 saat \( n \) menjadi sangat besar (menuju tak hingga). Jika kita lihat rumus \( S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \), suku \( r^n \) akan hilang, menyisakan \( \frac{a(1-0)}{1-r} \)./~

__Rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah:

$$ S_\infty = \frac{a}{1 - r}, \quad \text{untuk } |r| < 1 $$

C. Aplikasi di Dunia Nyata: Kekuatan Bunga

Konsep barisan dan deret sangat relevan dalam dunia keuangan, terutama dalam perhitungan bunga.

1. Bunga Tunggal (Model Aritmetika)

__Bunga tunggal dihitung hanya dari modal awal. Jumlah uang setelah periode tertentu akan membentuk sebuah barisan aritmetika, karena pertambahan bunganya konstan setiap periode.

~Jika modal awal adalah \(M_0\) dan suku bunga per periode adalah \(i\), maka besar bunga per periode adalah \(B = M_0 \cdot i\). Total modal setelah \(n\) periode adalah \( M_n = M_0 + n \cdot B \). Ini adalah aplikasi langsung dari rumus \(U_n = a + (n-1)b\) jika kita menganggap \(M_0\) sebagai suku awal sebelum periode pertama./~

2. Bunga Majemuk (Model Geometri)

__Bunga majemuk dihitung dari modal awal ditambah dengan akumulasi bunga dari periode sebelumnya. Proses "bunga menghasilkan bunga" ini menyebabkan pertumbuhan secara eksponensial.

~Jika modal awal adalah \(M_0\) dan suku bunga per periode adalah \(i\), maka total modal setelah \(n\) periode akan membentuk barisan geometri. Modal setelah 1 periode adalah \( M_1 = M_0(1+i) \). Modal setelah 2 periode adalah \( M_2 = M_1(1+i) = M_0(1+i)^2 \). Pola ini menghasilkan rumus umum./~

__Rumus total modal setelah \(n\) periode dengan bunga majemuk adalah:

$$ M_n = M_0 (1 + i)^n $$

Kesimpulan Dari Pola Menuju Prediksi

Pemahaman tentang barisan dan deret memberikan kita kemampuan untuk mengenali struktur dalam data, memahami laju perubahan (baik linear maupun eksponensial), dan membuat prediksi yang terinformasi. Dari menghitung total kursi hingga merencanakan masa depan finansial, konsep-konsep ini adalah fondasi dari pemikiran matematis yang terstruktur dan aplikatif.

Latihan Soal

Soal Pilihan Ganda Tingkat Mudah (1-10)

1. Tiga suku berikutnya dari barisan bilangan: 3, 7, 11, 15, ... adalah...

__a. 19, 23, 27

__b. 18, 22, 26

__c. 19, 24, 29

__d. 20, 25, 30

~Barisan ini adalah barisan aritmetika dengan beda \(b = 7 - 3 = 4\).

Suku ke-5: \(15 + 4 = 19\)

Suku ke-6: \(19 + 4 = 23\)

Suku ke-7: \(23 + 4 = 27\)

Jadi, jawabannya adalah 19, 23, 27. Opsi a./~

2. Dua suku berikutnya dari barisan bilangan: 2, 6, 18, 54, ... adalah...

__a. 108, 216

__b. 162, 486

__c. 152, 456

__d. 162, 324

~Barisan ini adalah barisan geometri dengan rasio \(r = 6 / 2 = 3\). Suku ke-5: \(54 \times 3 = 162\) Suku ke-6: \(162 \times 3 = 486\) Jadi, jawabannya adalah 162, 486. Opsi b./~

3. Suku ke-10 dari barisan aritmetika yang dimulai dengan 5, 8, 11, ... adalah...

__a. 29

__b. 32

__c. 35

__d. 38

~Suku pertama \(a = 5\) dan beda \(b = 8 - 5 = 3\).

\(U_{10} = a + (10-1)b = 5 + 9 \cdot 3 = 5 + 27 = 32\).

Jadi, suku ke-10 adalah 32. Opsi b./~

4. Suku ke-5 dari barisan geometri 4, 8, 16, ... adalah...

__a. 32

__b. 64

__c. 128

__d. 20

~Suku pertama \(a = 4\) dan rasio \(r = 8 / 4 = 2\).

\(U_5 = a \cdot r^{5-1} = 4 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64\).

Jadi, suku ke-5 adalah 64. Opsi b./~

5. Barisan bilangan 81, 27, 9, 3, ... merupakan...

__a. Barisan aritmetika dengan beda -54

__b. Barisan aritmetika dengan beda 3

__c. Barisan geometri dengan rasio 3

__d. Barisan geometri dengan rasio 1/3

~Cek beda: \(27 - 81 = -54\), tetapi \(9 - 27 = -18\). Bukan aritmetika.

Cek rasio: \(27 / 81 = 1/3\), dan \(9 / 27 = 1/3\). Ini adalah barisan geometri dengan rasio \(r = 1/3\). Opsi d./~

6. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 2 + 5 + 8 + ... adalah...

__a. 145

__b. 150

__c. 155

__d. 160

~Diketahui \(a = 2\), \(b = 3\), dan \(n=10\).

\(S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10-1)3] = 5[4 + 27] = 5 = 155\).

Jumlahnya adalah 155. Opsi c./~

7. Jumlah 5 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + ... adalah...

__a. 93

__b. 90

__c. 96

__d. 63

~Diketahui \(a = 3\), \(r = 2\), dan \(n=5\).

\(S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3(32 - 1) = 3(31) = 93\).

Jumlahnya adalah 93. Opsi a./~

8. Seseorang menabung Rp 1.000.000 dengan bunga tunggal 5% per tahun. Total uangnya setelah 3 tahun adalah...

__a. Rp 1.150.000

__b. Rp 1.157.625

__c. Rp 1.050.000

__d. Rp 1.500.000

~Bunga per tahun: \(0.05 \times 1.000.000 = 50.000\).

Total bunga 3 tahun: \(3 \times 50.000 = 150.000\).

Total uang: \(1.000.000 + 150.000 = 1.150.000\). Opsi a./~

9. Suku pertama dari barisan aritmetika adalah 10 dan suku ke-5 adalah 22. Beda barisan tersebut adalah...

__a. 2

__b. 3

__c. 4

__d. 5

~Diketahui \(a=10\) dan \(U_5=22\).

\(U_5 = a + 4b \implies 22 = 10 + 4b \implies 12 = 4b \implies b=3\).

Bedanya adalah 3. Opsi b./~

10. Manakah di antara deret geometri berikut yang merupakan deret konvergen?

__a. \(2 + 4 + 8 + \dots\)

__b. \(100 - 50 + 25 - \dots\)

__c. \(1 + 1.1 + 1.21 + \dots\)

__d. \(5 - 5 + 5 - \dots\)

~Deret konvergen jika \(|r| < 1\).

a. \(r = 2\), divergen.

b. \(r = -50/100 = -0.5\). \(|-0.5| < 1\), konvergen.

c. \(r = 1.1\), divergen.

d. \(r = -1\), divergen.

Jadi, yang konvergen adalah opsi b./~

11. Pada barisan aritmetika 4, 9, 14, ..., suku keberapakah yang nilainya 99?

__a. 18

__b. 19

__c. 20

__d. 21

~Diketahui \(a=4\), \(b=5\), \(U_n=99\).

\(99 = 4 + (n-1)5 \implies 95 = 5(n-1) \implies 19 = n-1 \implies n=20\).

99 adalah suku ke-20. Opsi c./~

12. Suku ke-3 dari barisan geometri adalah 20 dan suku ke-5 adalah 80. Suku pertama barisan tersebut adalah...

__a. 2.5

__b. 4

__c. 5

__d. 10

~ \(U_5/U_3 = ar^4/ar^2 = r^2\). Maka \(80/20 = 4 = r^2 \implies r=2\).

\(U_3 = a \cdot r^2 \implies 20 = a \cdot 2^2 \implies 20 = 4a \implies a=5\).

Suku pertamanya adalah 5. Opsi c./~

13. Seorang karyawan menabung Rp 50.000 di bulan pertama dan selalu menaikkan tabungannya sebesar Rp 10.000 setiap bulan. Total tabungannya selama satu tahun adalah...

__a. Rp 1.200.000

__b. Rp 1.260.000

__c. Rp 1.320.000

__d. Rp 660.000

~Ini adalah deret aritmetika dengan \(a=50.000\), \(b=10.000\), \(n=12\).

\(S_{12} = \frac{12}{2}[2(50.000) + 11(10.000)] = 6[100.000 + 110.000] = 6(210.000) = 1.260.000\).

Total tabungannya adalah Rp 1.260.000. Opsi b./~

14. Empat bilangan disisipkan di antara 5 dan 25 sehingga membentuk barisan aritmetika. Beda dari barisan tersebut adalah...

__a. 3

__b. 4

__c. 5

__d. 6

~Total suku menjadi \(n=6\). \(a=5\), \(U_6=25\).

\(25 = 5 + (6-1)b \implies 20 = 5b \implies b=4\).

Bedanya adalah 4. Opsi b./~

15. Jumlah dari deret geometri tak hingga \(18 + 6 + 2 + \dots\) adalah...

__a. 24

__b. 26

__c. 27

__d. 36

~Diketahui \(a=18\) dan \(r = 6/18 = 1/3\).

\(S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{18}{1 - 1/3} = \frac{18}{2/3} = 27\).

Jumlahnya adalah 27. Opsi c./~

16. Modal Rp 2.000.000 diinvestasikan dengan bunga majemuk 4% per tahun. Jumlah modal setelah 3 tahun adalah...

__a. Rp 2.240.000

__b. Rp 2.249.728

__c. Rp 2.250.000

__d. Rp 2.247.928

~ \(M_3 = 2.000.000(1+0.04)^3 = 2.000.000(1.04)^3 = 2.249.728\).

Jumlahnya adalah Rp 2.249.728. Opsi b./~

17. Banyaknya suku pada deret \(2 + 4 + 8 + \dots\) yang jumlahnya 254 adalah...

__a. 5

__b. 6

__c. 7

__d. 8

~Diketahui \(a=2, r=2, S_n=254\).

\(254 = \frac{2(2^n-1)}{2-1} \implies 127 = 2^n-1 \implies 128 = 2^n \implies n=7\).

Banyaknya suku adalah 7. Opsi c./~

18. Suku tengah dari barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku adalah 30. Jika suku terakhirnya adalah 50, maka suku pertamanya adalah...

__a. 5

__b. 10

__c. 15

__d. 20

~Suku tengah \(U_t = \frac{a+U_n}{2}\).

\(30 = \frac{a+50}{2} \implies 60 = a+50 \implies a=10\).

Suku pertamanya adalah 10. Opsi b./~

19. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter dan memantul kembali dengan ketinggian \(\frac{3}{4}\) dari ketinggian sebelumnya. Total panjang lintasan bola sampai berhenti adalah...

__a. 16 meter

__b. 20 meter

__c. 28 meter

__d. 32 meter

~Lintasan turun: \(S_{\text{turun}} = \frac{4}{1-3/4} = 16\).

Lintasan naik (dimulai dari pantulan pertama \(4 \times 3/4 = 3\)): \(S_{\text{naik}} = \frac{3}{1-3/4} = 12\).

Total lintasan = \(16 + 12 = 28\) meter. Opsi c./~

20. Jumlah \(n\) suku pertama suatu deret aritmetika adalah \(S_n = 2n^2 + 3n\). Nilai suku ke-5 adalah...

__a. 19

__b. 21

__c. 23

__d. 65

~ \(U_n = S_n - S_{n-1}\).

\(S_5 = 2(5^2) + 3(5) = 50 + 15 = 65\).

\(S_4 = 2(4^2) + 3(4) = 32 + 12 = 44\).

\(U_5 = 65 - 44 = 21\). Opsi b./~

21. Jumlah suku ke-3 dan suku ke-7 barisan aritmetika adalah 56. Jumlah suku ke-6 dan suku ke-10 adalah 86. Suku ke-2 barisan tersebut adalah...

__a. 8

__b. 10

__c. 13

__d. 15

~\(U_3+U_7 = (a+2b)+(a+6b) = 2a+8b = 56 \implies a+4b=28\).

\(U_6+U_{10} = (a+5b)+(a+9b) = 2a+14b = 86 \implies a+7b=43\).

Eliminasi: \((a+7b)-(a+4b) = 43-28 \implies 3b=15 \implies b=5\).

Substitusi: \(a+4(5)=28 \implies a=8\).

\(U_2 = a+b = 8+5=13\). Opsi c./~

22. Tiga bilangan, \(\log(a)\), \(\log(ab)\), dan \(\log(ab^2)\), membentuk barisan aritmetika dengan beda...

__a. \(\log(a)\)

__b. \(\log(b)\)

__c. \(\log(ab)\)

__d. \(b\)

~Beda = \(U_2-U_1 = \log(ab) - \log(a) = \log(\frac{ab}{a}) = \log(b)\).

Cek beda kedua: \(U_3-U_2 = \log(ab^2) - \log(ab) = \log(\frac{ab^2}{ab}) = \log(b)\).

Bedanya konstan yaitu \(\log(b)\). Opsi b./~

23. Jumlah tak hingga sebuah deret geometri adalah \(\frac{3}{2}\). Jika suku pertamanya adalah 1, maka jumlah semua suku bernomor ganjil dari deret tersebut adalah...

__a. 9/8

__b. 8/9

__c. 3/4

__d. 4/3

~ \(S_\infty = \frac{a}{1-r} \implies \frac{3}{2} = \frac{1}{1-r} \implies 3-3r=2 \implies 3r=1 \implies r=\frac{1}{3}\).

Deret suku ganjil: \(a, ar^2, ar^4, \dots\). Suku pertamanya tetap \(a=1\), rasionya menjadi \(r^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\).

Jumlah tak hingga suku ganjil: \(S_{\text{ganjil}} = \frac{a}{1-r^2} = \frac{1}{1-\frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{8}{9}} = \frac{9}{8}\). Opsi a./~

24. Tiga bilangan disisipkan di antara 2 dan 162 sehingga membentuk barisan geometri. Jumlah dari ketiga bilangan yang disisipkan tersebut adalah...

__a. 78

__b. 80

__c. 82

__d. 84

~Total suku \(n=5\). \(a=2\), \(U_5=162\).

\(162 = 2 \cdot r^4 \implies 81 = r^4 \implies r=3\).

Barisannya: 2, 6, 18, 54, 162.

Bilangan yang disisipkan: 6, 18, 54.

Jumlahnya: \(6+18+54 = 78\). Opsi a./~

25. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 36, dan jumlah dari kuadratnya adalah 440. Bilangan terbesar adalah...

__a. 10

__b. 12

__c. 14

__d. 16

~Misalkan bilangan itu \((x-b), x, (x+b)\).

\(3x=36 \implies x=12\).

\((12-b)^2 + 12^2 + (12+b)^2 = 440\).

\(144-24b+b^2+144+144+24b+b^2=440 \implies 432+2b^2=440 \implies 2b^2=8 \implies b=2\).

Bilangannya adalah 10, 12, 14. Yang terbesar adalah 14. Opsi c./~

26. Jumlah luas dari semua persegi yang terbentuk dari proses menghubungkan titik tengah sisi persegi awal berukuran 4x4 cm adalah...

__a. 16 cm²

__b. 24 cm²

__c. 32 cm²

__d. 64 cm²

~Luas persegi pertama \(A_1 = 16\). Luas persegi kedua \(A_2 = 8\). Luas ketiga \(A_3=4\), dst.

Deretnya: \(16+8+4+\dots\) dengan \(a=16, r=1/2\).

\(S_\infty = \frac{16}{1-1/2} = 32\). Opsi c./~

27. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio \(r > 1\). Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika. Jika suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 2, maka suku ketiga dari barisan aritmetika yang terbentuk adalah...

__a. 14

__b. 16

__c. 18

__d. 20

Pembahasan:

~1. Mendefinisikan Barisan Geometri Awal

* Kita diberi tahu suku pertama (\(a\)) = 2.

* Karena ini adalah barisan geometri, tiga sukunya dapat kita tulis sebagai:

\(a, ar, ar^2\)

Dengan \(a=2\), barisan tersebut menjadi: *2, 2r, 2r²**

2. Membentuk Barisan Aritmetika

* Soal menyatakan bahwa jika suku tengah ditambah 4, terbentuklah barisan aritmetika.

* Suku tengahnya adalah \(2r\). Setelah ditambah 4 menjadi \(2r+4\).

Maka, barisan aritmetika yang terbentuk adalah: *2, (2r + 4), 2r²**

3. Menggunakan Sifat Barisan Aritmetika untuk Mencari Nilai r

* Sifat utama barisan aritmetika adalah selisih antar sukunya (beda) selalu sama. Artinya:

\(U_2 - U_1 = U_3 - U_2\)

* Ini bisa juga ditulis sebagai:

\(2 \times U_2 = U_1 + U_3\)

* Kita masukkan suku-suku dari barisan aritmetika kita ke dalam rumus tersebut:

\(2 \times (2r + 4) = 2 + 2r^2\)

* Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini:

\(4r + 8 = 2 + 2r^2\)

\(0 = 2r^2 - 4r - 6\)

* Untuk mempermudah, bagi kedua sisi dengan 2:

\(0 = r^2 - 2r - 3\)

* Faktorkan persamaan tersebut:

\((r - 3)(r + 1) = 0\)

* Kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk \(r\): \(r = 3\) atau \(r = -1\).

Karena soal menyatakan rasio \(r > 1\), maka kita pilih *r = 3**.

4. Menentukan Suku Ketiga Barisan Aritmetika

* Sekarang kita sudah tahu nilai \(r = 3\).

* Barisan aritmetika yang terbentuk adalah: 2, (2r + 4), 2r².

* Suku ketiga dari barisan aritmetika ini adalah \(2r^2\).

* Substitusikan nilai \(r=3\):

Suku Ketiga = \(2 \times (3)^2 = 2 \times 9 = 18\).

Untuk memastikan, mari kita lihat barisan aritmetika lengkapnya:

\(U_1 = 2\)

\(U_2 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10\)

\(U_3 = 18\)

Barisannya adalah 2, 10, 18. Ini adalah barisan aritmetika yang valid dengan beda 8.

Jadi, suku ketiga barisan aritmetika tersebut adalah 18./~

28. Waktu minimal agar uang Rp 5.000.000 menjadi lebih dari dua kali lipat dengan bunga majemuk 6% per tahun adalah...

__a. 10 tahun

__b. 11 tahun

__c. 12 tahun

__d. 13 tahun

~\((1.06)^n > 2\). \(n > \frac{\log(2)}{\log(1.06)} \approx 11.89\). Karena bunga tahunan, perlu waktu 12 tahun penuh. Opsi c./~

29. Jumlah dua suku pertama deret geometri adalah 9, dan jumlah empat suku pertamanya adalah 45. Suku pertama deret tersebut adalah...

__a. 1

__b. 2

__c. 3

__d. 4.5

~\(S_2=a(1+r)=9\). \(S_4=(a+ar)(1+r^2)=S_2(1+r^2)=45\).

\(9(1+r^2)=45 \implies 1+r^2=5 \implies r^2=4 \implies r=2\).

\(a(1+2)=9 \implies 3a=9 \implies a=3\). Opsi c./~

30. Jika \(S_5 = 25\) dan \(S_{10} = 100\) untuk sebuah deret aritmetika, maka \(S_{15}\) adalah...

__a. 175

__b. 200

__c. 225

__d. 250

~Dari sistem persamaan \(a+2b=5\) dan \(2a+9b=20\), didapat \(a=1, b=2\).

\(S_{15} = \frac{15}{2}[2(1) + (14)2] = \frac{15}{2} = 225\). Opsi c./~