Menguasai Eksponen: Dari Perkalian Berulang Hingga Model Pertumbuhan Dunia Nyata

Dalam lanskap matematika yang luas, beberapa konsep memiliki kekuatan fundamental dan jangkauan aplikasi yang seluas eksponen. Seringkali diperkenalkan sebagai notasi sederhana untuk perkalian berulang, eksponen sebenarnya adalah bahasa yang kuat untuk mendeskripsikan perubahan yang dahsyat dan cepat. Mulai dari kecepatan penyebaran informasi di era digital, pertumbuhan populasi global yang menakjubkan, hingga peluruhan zat radioaktif yang tak terlihat, semua fenomena ini dapat dimodelkan dan dipahami melalui lensa eksponensial.

Bab ini akan menjadi panduan lengkap untuk membongkar konsep eksponen. Kita akan memulai dari definisi paling dasar, membangun pemahaman intuitif melalui contoh-contoh nyata. Selanjutnya, kita akan menjelajahi sifat-sifat atau aturan-aturan yang mengatur operasi eksponensial, yang memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi yang kompleks dengan elegan. Perjalanan kita kemudian akan berlanjut ke jantung aplikasi eksponen: fungsi eksponensial, di mana kita akan membedah dua sisi mata uang yang sama—pertumbuhan dan peluruhan. Terakhir, kita akan melihat bagaimana eksponen terhubung erat dengan bentuk akar dan bagaimana konsep inversnya, logaritma, membuka pintu untuk menyelesaikan kelas masalah yang sama sekali baru. Mari kita mulai perjalanan ini untuk mengapresiasi keindahan dan kekuatan dari bilangan berpangkat.

A. Fondasi Eksponensial: Definisi dan Konsep Dasar

Pada intinya, eksponen adalah sebuah efisiensi; sebuah jalan pintas matematis. Bayangkan Anda harus menulis perkalian 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5. Tentu saja ini memakan waktu dan ruang. Matematika menawarkan cara yang jauh lebih ringkas: $5^6$. Notasi inilah yang kita sebut sebagai eksponen atau bilangan berpangkat.

Dalam notasi $a^n$, kita memiliki dua komponen utama:

• Basis (a): Bilangan yang akan dikalikan secara berulang. Dalam contoh $5^6$, basisnya adalah 5.

• Pangkat atau Eksponen (n): Bilangan yang menunjukkan berapa kali basis dikalikan dengan dirinya sendiri. Dalam contoh $5^6$, pangkatnya adalah 6.

Secara formal, definisi ini dapat dinyatakan sebagai: Jika 'a' adalah bilangan real dan 'n' adalah bilangan bulat positif, maka $a^n$ adalah hasil kali bilangan 'a' sebanyak 'n' faktor.

$$ a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ faktor}} $$

Untuk mengilustrasikan betapa kuatnya konsep ini, mari kita gunakan skenario penyebaran informasi yang salah (hoax) seperti yang diuraikan dalam buku. Bayangkan satu orang memulai sebuah hoax dan membagikannya kepada dua orang temannya. Setiap orang yang menerima hoax tersebut, pada fase berikutnya, juga membagikannya kepada dua orang baru.

• Fase Awal (Fase 0): Hanya ada 1 penyebar awal. Kita bisa menulis ini sebagai $2^0 = 1$.

• Fase 1: Penyebar awal membagikannya ke 2 orang. Sekarang ada 2 penerima baru. Total orang yang menerima pada fase ini adalah $2^1$.

• Fase 2: Kedua orang tersebut masing-masing membagikannya ke 2 orang baru, sehingga 2 x 2 = 4 orang baru menerima hoax. Total orang pada fase ini adalah $2^2$.

• Fase 3: Keempat orang tersebut membagikannya ke 2 orang baru, sehingga 4 x 2 = 8 orang baru. Totalnya adalah $2^3$.

Pola ini sangat jelas. Jumlah orang baru yang menerima hoax pada fase ke-n adalah $2^n$. Jika penyebaran ini berlanjut hingga fase ke-10, akan ada $2^{10}$ atau 1.024 orang baru yang menerima hoax. Hanya dalam 20 fase, jumlahnya akan meledak menjadi $2^{20}$ atau lebih dari satu juta orang. Contoh ini secara gamblang menunjukkan bagaimana proses yang dimulai dari hal kecil dapat tumbuh secara eksponensial menjadi sangat besar.

Definisi dasar ini hanya mencakup pangkat bilangan bulat positif. Namun, matematika membutuhkan kerangka kerja yang lebih luas. Apa artinya $a^0$? Bagaimana dengan $a^{-2}$? Atau bahkan $a^{1/2}$? Untuk menjawab ini, kita perlu memperluas definisi kita melalui sifat-sifat logis dari eksponen.

B. Aturan Permainan: Sifat-Sifat Fundamental Eksponen

Untuk dapat memanipulasi dan menyederhanakan ekspresi yang mengandung eksponen secara efisien, para matematikawan telah merumuskan serangkaian sifat atau hukum. Aturan-aturan ini bukanlah hafalan semata, melainkan konsekuensi logis dari definisi dasar perkalian berulang.

1. Sifat Perkalian (Product Rule):

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

Ketika mengalikan dua ekspresi berpangkat dengan basis yang sama, kita cukup menjumlahkan pangkatnya.

• Logikanya: $x^3 \cdot x^2 = (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x)$. Di sini, kita memiliki total lima faktor x yang dikalikan, sehingga hasilnya adalah $x^5$, yang sama dengan $x^{3+2}$.

• Contoh: $3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729$.

2. Sifat Pembagian (Quotient Rule):

$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (\text{untuk } a \neq 0) $$

Ketika membagi dua ekspresi berpangkat dengan basis yang sama, kita mengurangkan pangkat penyebut dari pangkat pembilang.

• Logikanya: $\frac{x^5}{x^2} = \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x}$. Dua faktor x di pembilang dan penyebut saling menghilangkan, menyisakan $x \cdot x \cdot x$ atau $x^3$, yang sama dengan $x^{5-2}$.

Sifat pembagian ini secara elegan menuntun kita pada dua definisi penting lainnya:

• Pangkat Nol: Apa yang terjadi jika $m = n$? Misalnya, $\frac{x^3}{x^3}$. Secara logika, setiap bilangan (selain nol) yang dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya adalah 1. Menggunakan sifat pembagian, kita mendapatkan $x^{3-3} = x^0$. Oleh karena itu, kita mendefinisikan bahwa $a^0 = 1$ untuk setiap bilangan $a$ yang tidak sama dengan nol.

• Pangkat Negatif: Apa yang terjadi jika pangkat di penyebut lebih besar? Misalnya, $\frac{x^2}{x^5}$. Dengan membatalkan faktor yang sama, kita mendapatkan $\frac{1}{x \cdot x \cdot x} = \frac{1}{x^3}$. Menggunakan sifat pembagian, kita mendapatkan $x^{2-5} = x^{-3}$. Ini membawa kita ke definisi krusial:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Pangkat negatif berarti "kebalikan" atau "resiprokal".

3. Sifat Perpangkatan (Power Rule):

$$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$

Ketika sebuah ekspresi berpangkat dipangkatkan lagi, kita mengalikan kedua pangkat tersebut.

• Logikanya: $(x^3)^2 = (x^3) \cdot (x^3)$. Menggunakan sifat perkalian, ini menjadi $x^{3+3} = x^6$, yang sama dengan $x^{3 \times 2}$.

• Contoh: $(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64$.

4. Sifat Pangkat dari Perkalian (Power of a Product Rule):

$$ (ab)^m = a^m \cdot b^m $$

__Pangkat dari sebuah perkalian adalah perkalian dari masing-masing faktor yang dipangkatkan.

• Logikanya: $(xy)^3 = (xy) \cdot (xy) \cdot (xy)$. Dengan mengatur ulang faktor, kita mendapatkan $(x \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y) = x^3y^3$.

5. Sifat Pangkat dari Pembagian (Power of a Quotient Rule):

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \quad (\text{untuk } b \neq 0) $$

__Serupa dengan perkalian, pangkat dari sebuah pembagian adalah pembagian dari pembilang dan penyebut yang masing-masing dipangkatkan.

• Logikanya: $(\frac{x}{y})^3 = (\frac{x}{y}) \cdot (\frac{x}{y}) \cdot (\frac{x}{y}) = \frac{x^3}{y^3}$.

__Dengan menguasai kelima sifat ini, kita dapat menyederhanakan ekspresi yang terlihat rumit menjadi bentuk yang jauh lebih sederhana, yang merupakan keterampilan esensial dalam aljabar dan kalkulus.

C. Mesin Perubahan: Fungsi Eksponensial

Ketika kita membiarkan pangkat menjadi sebuah variabel, kita beralih dari sekadar ekspresi aljabar ke dunia fungsi yang dinamis. Fungsi eksponensial, yang memiliki bentuk umum $f(x) = n \cdot a^x$, adalah alat utama untuk memodelkan situasi di mana perubahan terjadi dengan laju yang proporsional terhadap kuantitas yang ada.

Dalam bentuk ini:

• x adalah variabel bebas (seringkali mewakili waktu).

• a adalah basis, yang juga disebut faktor pertumbuhan atau faktor peluruhan.

• n adalah koefisien yang seringkali mewakili nilai awal atau kuantitas saat $x=0$.

Fungsi eksponensial secara fundamental terbagi menjadi dua kategori berdasarkan nilai basis a:

1. Pertumbuhan Eksponensial ($a > 1$)

__Ketika faktor a lebih besar dari 1, setiap peningkatan x akan menghasilkan output f(x) yang lebih besar dari sebelumnya, dengan laju peningkatan yang semakin cepat. Grafiknya memiliki bentuk kurva "J" yang khas, dimulai dengan pertumbuhan yang landai dan kemudian menanjak secara dramatis.

• Contoh Dunia Nyata: Investasi Bunga Majemuk, Pertumbuhan Populasi.

2. Peluruhan Eksponensial ($0 < a < 1$)

__Ketika faktor a berada di antara 0 dan 1 (sebuah pecahan), setiap peningkatan x akan menghasilkan output f(x) yang semakin kecil, mendekati nol tetapi tidak pernah benar-benar mencapainya. Grafiknya adalah cerminan dari kurva pertumbuhan, menurun tajam pada awalnya dan kemudian melandai.

• Contoh Dunia Nyata: Peluruhan Radioaktif, Depresiasi Nilai, Konsentrasi Obat.

__Penting untuk dicatat batasan pada basis a. Kita tidak mengizinkan $a = 1$ karena $f(x) = 1^x$ akan selalu menghasilkan 1, menjadikannya fungsi konstan (garis lurus), bukan eksponensial. Kita juga tidak mengizinkan a menjadi negatif karena akan menghasilkan nilai yang berosilasi antara positif dan negatif dan tidak terdefinisi untuk banyak pangkat pecahan (misalnya, $(-4)^{1/2}$), sehingga tidak membentuk kurva yang mulus dan kontinu.

D. Eksponen Tersembunyi: Hubungan dengan Bentuk Akar

Seringkali, siswa melihat eksponen dan bentuk akar (radikal) sebagai dua topik yang terpisah. Kenyataannya, keduanya adalah dua sisi dari koin yang sama. Bentuk akar adalah notasi alternatif untuk eksponen rasional (pecahan).

Hubungan kuncinya adalah:

$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$

Dalam notasi akar $\sqrt[n]{y}$:

• $\sqrt{\quad}$ adalah simbol radikal.

• n adalah indeks, yang memberi tahu kita "akar ke berapa" yang harus diambil. Jika tidak ada indeks yang ditulis, diasumsikan sebagai akar kuadrat ($n=2$).

• y adalah radikan, yaitu bilangan di bawah simbol radikal.

Memahami hubungan ini sangat menyederhanakan banyak hal. Sifat-sifat eksponen yang telah kita pelajari berlaku sempurna untuk bentuk akar. Misalnya, menyederhanakan $\sqrt{x^6}$ mungkin terlihat rumit. Tetapi jika kita menuliskannya sebagai $(x^6)^{1/3}$, kita dapat menggunakan sifat perpangkatan: $x^{6 \times (1/3)} = x^2$.

Salah satu teknik penting yang terkait dengan bentuk akar adalah merasionalkan penyebut. Ini adalah proses menghilangkan akar dari bagian penyebut pecahan. Tujuannya adalah untuk standarisasi bentuk akhir, yang secara historis mempermudah perhitungan sebelum era kalkulator. Metode yang paling umum adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut. Sekawan dari $a + \sqrt{b}$ adalah $a - \sqrt{b}$. Ketika dikalikan, $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$, yang secara efektif menghilangkan akar.

Pengantar Singkat ke Dunia Invers: Logaritma

Setelah memahami eksponen, kita secara alami sampai pada pertanyaan inversnya.

• Eksponen bertanya: "Jika kita mengambil 3 dan memangkatkannya dengan 4, hasilnya apa?" (Jawab: $3^4 = 81$)

• Logaritma bertanya: "Untuk mendapatkan hasil 81, kita harus memangkatkan 3 dengan berapa?" (Jawab: 4)

Inilah esensi dari logaritma. Hubungan formalnya adalah:

$$ a^x = b \iff \log_a(b) = x $$

Pernyataan $\log_a(b) = x$ dibaca sebagai "logaritma basis a dari b adalah x". Logaritma adalah alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan persamaan di mana variabel yang tidak diketahui berada di posisi pangkat, seperti mencari waktu yang dibutuhkan agar investasi mencapai nilai tertentu atau populasi mencapai ukuran tertentu.

Kesimpulan Kekuatan dalam Pangkat

Bab ini telah membawa kita dalam perjalanan dari konsep dasar perkalian berulang ke aplikasi canggih dalam memodelkan dunia di sekitar kita. Eksponen bukan sekadar notasi; mereka adalah kerangka kerja untuk memahami pertumbuhan, peluruhan, dan perubahan yang cepat. Dengan memahami definisi dasarnya, menginternalisasi sifat-sifatnya, dan melihat bagaimana mereka diwujudkan dalam fungsi eksponensial dan bentuk akar, kita telah meletakkan fondasi yang kokoh untuk studi matematika yang lebih tinggi. Kekuatan untuk menyederhanakan, memodelkan, dan menyelesaikan masalah yang terkandung dalam bilangan berpangkat adalah bukti keindahan dan efisiensi pemikiran matematis.

Latihan Soal

Tingkat Mudah (Dasar & Definisi)

1. Dalam ekspresi $7^4$, manakah yang disebut basis dan manakah yang disebut pangkat (eksponen)?

__A. Basis adalah 4, Pangkat adalah 7

__B. Basis adalah 7, Pangkat adalah 4

__C. Basis adalah 28, Pangkat adalah 4

__D. Basis adalah 7, Pangkat adalah 28

~ Pembahasan: Sesuai definisi $a^n$, basis (a) adalah bilangan yang dikalikan berulang, yaitu 7. Pangkat (n) adalah bilangan yang menunjukkan berapa kali basis dikalikan, yaitu 4./~

2. Hitunglah nilai dari $3^4$.

__A. 12

__B. 27

__C. 81

__D. 64

~ Pembahasan: $3^4$ berarti mengalikan 3 sebanyak 4 kali. $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$./~

3. Sederhanakan ekspresi berikut menggunakan Sifat Perkalian: $x^5 \cdot x^2$.

__A. $x^{10}$

__B. $x^3$

__C. $x^7$

__D. $2x^7$

~ Pembahasan: Menggunakan Sifat Perkalian ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), kita cukup menjumlahkan pangkatnya. $x^{5+2} = x^7$.

4. Sederhanakan ekspresi berikut menggunakan Sifat Pembagian: $\frac{y^8}{y^3}$./~

__A. $y^{11}$

__B. $y^5$

__C. $y^{24}$

__D. $5y$

~ Pembahasan: Menggunakan Sifat Pembagian ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), kita mengurangkan pangkatnya. $y^{8-3} = y^5$./~

5. Berapakah nilai dari $15^0$?

__A. 15

__B. 1

__C. 0

__D. Tidak terdefinisi

~ Pembahasan: Berdasarkan definisi Pangkat Nol, setiap bilangan (selain nol) yang dipangkatkan nol hasilnya adalah 1. Jadi, $15^0 = 1$./~

6. Tuliskan $4^{-2}$ dalam bentuk pecahan tanpa pangkat negatif.

__A. $\frac{1}{16}$

__B. -8

__C. -16

__D. $\frac{1}{8}$

~ Pembahasan: Menggunakan definisi Pangkat Negatif ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), kita mendapatkan: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$./~

7. Sederhanakan ekspresi berikut menggunakan Sifat Perpangkatan: $(b^4)^3$.

__A. $b^7$

__B. $b^{64}$

__C. $3b^4$

__D. $b^{12}$

~ Pembahasan: Menggunakan Sifat Perpangkatan ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), kita mengalikan pangkatnya. $b^{4 \times 3} = b^{12}$./~

8. Ubahlah bentuk akar $\sqrt{x}$ menjadi bentuk eksponen pecahan.

__A. $x^3$

__B. $x^{1/3}$

__C. $3x$

__D. $x^{-3}$

~ Pembahasan: Sesuai hubungan eksponen dan akar ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$), akar pangkat tiga dari x (yang sama dengan $x^1$) adalah $x^{\frac{1}{3}}$./~

9. Jika satu orang menyebarkan hoax ke 2 orang, dan proses itu berlanjut, berapa banyak orang baru yang menerima hoax pada fase ke-4?

__A. 8

__B. 10

__C. 16

__D. 32

~ Pembahasan: Pola penyebaran adalah $2^n$, di mana n adalah fase. Untuk fase ke-4, jumlah orang baru adalah $2^4 = 16$ orang./~

10. Tuliskan $(2x)^3$ dalam bentuk yang lebih sederhana.

__A. $6x$

__B. $2x^3$

__C. $6x^3$

__D. $8x^3$

~ Pembahasan: Menggunakan sifat $(ab)^m = a^m \cdot b^m$, kita memangkatkan setiap faktor di dalam kurung. $2^3 \cdot x^3 = 8x^3$./~

Tingkat Sedang (Kombinasi Sifat)

1. Sederhanakan ekspresi berikut: $\frac{x^4 \cdot x^5}{x^2}$.

__A. $x^7$

__B. $x^{18}$

__C. $x^{11}$

__D. $x^3$

~ Pembahasan: Pertama, gunakan Sifat Perkalian pada pembilang: $x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9$. Kemudian, gunakan Sifat Pembagian: $\frac{x^9}{x^2} = x^{9-2} = x^7$./~

2. Sederhanakan: $(3y^5)^2$.

__A. $6y^{10}$

__B. $9y^7$

__C. $3y^{10}$

__D. $9y^{10}$

~ Pembahasan: Gunakan Sifat Pangkat dari Perkalian: $3^2 \cdot (y^5)^2$. Kemudian gunakan Sifat Perpangkatan pada variabel y: $9 \cdot y^{5 \times 2} = 9y^{10}$./~

3. Tuliskan ekspresi $\left(\frac{a^6}{a^2}\right)^{-1}$ dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif.

__A. $a^4$

__B. $\frac{1}{a^4}$

__C. $a^5$

__D. $a^{-4}$

~ Pembahasan: Kerjakan di dalam kurung terlebih dahulu menggunakan Sifat Pembagian: $a^{6-2} = a^4$. Ekspresinya menjadi $(a^4)^{-1}$. Gunakan Sifat Perpangkatan: $a^{4 \times -1} = a^{-4}$. Terakhir, ubah pangkat negatif menjadi positif: $\frac{1}{a^4}$./~

4. Sederhanakan: $x^{1/2} \cdot x^{1/3}$.

__A. $x^{1/6}$

__B. $x^{2/5}$

__C. $x^{5/6}$

__D. $x^{1/5}$

~ Pembahasan: Basisnya sama, jadi kita gunakan Sifat Perkalian dengan menjumlahkan pangkat pecahannya. Kita perlu menyamakan penyebut: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Hasilnya adalah $x^{5/6}$./~

5. Sederhanakan: $\frac{12b^3}{4b^7}$.

__A. $3b^4$

__B. $8b^{-4}$

__C. $\frac{3}{b^4}$

__D. $\frac{b^4}{3}$

~ Pembahasan: Bagi koefisiennya: $12 \div 4 = 3$. Untuk variabelnya, gunakan Sifat Pembagian: $b^{3-7} = b^{-4}$. Hasilnya adalah $3b^{-4}$, yang bisa ditulis sebagai $\frac{3}{b^4}$./~

6. Hitunglah nilai dari $(5^6 \cdot 5^{-4})^2$.

__A. 25

__B. 125

__C. 625

__D. 10

~ Pembahasan: Kerjakan dalam kurung: $5^{6+(-4)} = 5^2$. Ekspresinya menjadi $(5^2)^2$. Gunakan Sifat Perpangkatan: $5^{2 \times 2} = 5^4 = 625$./~

7. Sederhanakan ekspresi $\sqrt{x^9}$.

__A. $x^6$

__B. $x^{27}$

__C. $x^3$

__D. $x^{9/3}$

~ Pembahasan: Ubah ke bentuk eksponen: $(x^9)^{1/3}$. Gunakan Sifat Perpangkatan: $x^{9 \times \frac{1}{3}} = x^3$./~

8. Suatu populasi bakteri dimulai dengan 100 sel dan membelah diri menjadi dua setiap jam. Fungsi eksponensial yang tepat untuk model ini adalah:

__A. $f(t) = 100 \cdot t^2$

__B. $f(t) = 2 \cdot 100^t$

__C. $f(t) = 100 + 2t$

__D. $f(t) = 100 \cdot 2^t$

~ Pembahasan: Menggunakan bentuk umum $f(x) = n \cdot a^x$, nilai awal $n=100$, faktor pertumbuhan $a=2$, dan variabel bebasnya waktu $t$. Fungsinya adalah $f(t) = 100 \cdot 2^t$./~

9. Sederhanakan: $(a^{-2}b^3)^{-2}$.

__A. $a^4b^{-6}$

__B. $a^0b^1$

__C. $a^{-4}b^{-6}$

__D. $\frac{a^4}{b^6}$

~ Pembahasan: Gunakan Sifat Pangkat dari Perkalian, lalu Sifat Perpangkatan: $(a^{-2})^{-2} \cdot (b^3)^{-2} = a^{-2 \times -2} \cdot b^{3 \times -2} = a^4 \cdot b^{-6} = \frac{a^4}{b^6}$./~

20. Jika $\log_5(x) = 2$, berapakah nilai $x$?

__A. 10

__B. 3

__C. 25

__D. 7

~ Pembahasan: Sesuai definisi logaritma $a^x = b \iff \log_a(b) = x$, kita dapat mengubah $\log_5(x) = 2$ kembali ke bentuk eksponen. Basisnya adalah 5, pangkatnya adalah 2. Jadi, $x = 5^2 = 25$./~

Tingkat Sulit (Aplikasi Kompleks & Pemecahan Masalah)

1. Sederhanakan ekspresi kompleks berikut: $\left(\frac{2x^{-3}y^2}{8x^2y^{-1}}\right)^{-2}$.

__A. $\frac{16x^{10}}{y^6}$

__B. $\frac{y^6}{16x^{10}}$

__C. $16x^{10}y^6$

__D. $\frac{x^{10}}{16y^6}$

~ Pembahasan: Sederhanakan di dalam kurung: $\frac{1}{4}x^{-5}y^3$. Sekarang pangkatkan dengan -2: $(\frac{1}{4})^{-2}(x^{-5})^{-2}(y^3)^{-2} = 4^2 x^{10} y^{-6} = \frac{16x^{10}}{y^6}$./~

2. Sederhanakan $\sqrt{x^3} \cdot ^3\sqrt{x^2}$ dengan menuliskannya dalam bentuk eksponen tunggal.

__A. $x^{13/6}$

__B. $x^{5/6}$

__C. $x^{6/5}$

__D. $x$

~ Pembahasan: Ubah ke bentuk eksponen: $x^{3/2} \cdot x^{2/3}$. Jumlahkan pangkat: $\frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6}$. Hasilnya adalah $x^{13/6}$./~

3. Selesaikan persamaan eksponensial berikut untuk nilai $x$: $9^{x+1} = 27^{x-1}$.

__A. 1

__B. 4

__C. 5

__D. -1

~ Pembahasan: Ubah ke basis 3: $(3^2)^{x+1} = (3^3)^{x-1} \implies 3^{2x+2} = 3^{3x-3}$. Samakan pangkatnya: $2x+2 = 3x-3 \implies 5 = x$./~

4. Sederhanakan ekspresi berikut: $\frac{(a^{3n+1})^2}{a^{2n-1}}$.

__A. $a^{4n+2}$

__B. $a^{4n+3}$

__C. $a^{n+2}$

__D. $a^{4n}$

~ Pembahasan: Pembilang menjadi $a^{2(3n+1)} = a^{6n+2}$. Lalu bagi: $a^{(6n+2) - (2n-1)} = a^{6n+2-2n+1} = a^{4n+3}$./~

5. Rasionalkan penyebut dari pecahan berikut: $\frac{6}{3 - \sqrt{2}}$.

__A. $\frac{18 + 6\sqrt{2}}{7}$

__B. $18 + 6\sqrt{2}$

__C. $\frac{18 - 6\sqrt{2}}{7}$

__D. $\frac{6}{7}$

~ Pembahasan: Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan $3 + \sqrt{2}$. $\frac{6(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{18 + 6\sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{18 + 6\sqrt{2}}{7}$./~

6. Jika $f(x) = 2 \cdot 3^x$, hitunglah nilai dari $\frac{f(x+2)}{f(x-1)}$.

__A. 9

__B. 18

__C. 27

__D. 3

~ Pembahasan: $\frac{2 \cdot 3^{x+2}}{2 \cdot 3^{x-1}} = 3^{(x+2) - (x-1)} = 3^{x+2-x+1} = 3^3 = 27$./~

7. Nilai sebuah mobil seharga Rp 400.000.000 mengalami depresiasi 15% setiap tahun. Berapa perkiraan harganya setelah 3 tahun?

__A. Rp 280.000.000

__B. Rp 340.000.000

__C. Rp 245.650.000

__D. Rp 220.000.000

~ Pembahasan: Faktor peluruhan adalah $1 - 0.15 = 0.85$. Harga setelah 3 tahun = $400.000.000 \cdot (0.85)^3 = 400.000.000 \cdot 0.614125 \approx 245.650.000$./~

8. Sederhanakan: $(x^{1/2} - y^{1/2})(x^{1/2} + y^{1/2})$.

__A. $x - y$

__B. $x + y$

__C. $x^{1/4} - y^{1/4}$

__D. $x^2 - y^2$

~ Pembahasan: Ini adalah bentuk selisih dua kuadrat $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Maka, $(x^{1/2})^2 - (y^{1/2})^2 = x^1 - y^1 = x - y$./~

9. Tentukan nilai $x$ jika $x^{-2/3} = \frac{1}{4}$.

__A. -8

__B. 16

__C. 4

__D. 8

~ Pembahasan: $x^{-2/3} = 4^{-1}$. Balik kedua sisi: $x^{2/3} = 4$. Pangkatkan kedua sisi dengan $\frac{3}{2}$: $(x^{2/3})^{3/2} = 4^{3/2} \implies x = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$./~

10. Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan mana yang lebih besar:

__A. $2^{1000}$ lebih besar

__B. $3^{750}$ lebih besar

__C. Keduanya sama besar

__D. Tidak dapat ditentukan

~ Pembahasaan: Cari FPB dari pangkatnya: FPB(1000, 750) = 250. Tulis ulang: $2^{1000} = (2^4)^{250} = 16^{250}$. Dan $3^{750} = (3^3)^{250} = 27^{250}$. Karena $27 > 16$, maka $27^{250} > 16^{250}$. Jadi, $3^{750}$ lebih besar./~