Materi Matematika Kelas 11 Bab 15 - Turunan fungsi aljabar

1. Pengertian Turunan

Turunan dari suatu fungsi menggambarkan laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya. Secara matematis, turunan dari fungsi \( f(x) \) didefinisikan sebagai:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Jika limit ini ada, maka \( f(x) \) dikatakan terdiferensialkan pada titik tersebut.

2. Aturan Dasar Turunan

• Turunan Konstanta: \( \frac{d}{dx} c = 0 \), dengan \( c \) adalah konstanta.
• Turunan Pangkat: \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \).
• Turunan Perkalian dengan Konstanta: \( \frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x) \).
• Turunan Penjumlahan dan Pengurangan: \( \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \).
• Turunan Perkalian: \( \frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \).
• Turunan Pembagian: \( \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \), dengan \( g(x) \neq 0 \).

3. Contoh Perhitungan

Contoh 1: Turunan Polinomial

Misalkan \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 \), maka turunannya adalah:

\[ f'(x) = (3 \cdot 4)x^{4-1} - (5 \cdot 2)x^{2-1} + 7(1)x^{1-1} - 0 \]

\[ f'(x) = 12x^3 - 10x + 7 \]

Contoh 2: Turunan Perkalian

Diketahui \( f(x) = (x^2 + 1)(x + 3) \), maka turunannya:

\[ f'(x) = (x^2 + 1)'(x + 3) + (x^2 + 1)(x + 3)' \]

\[ = (2x)(x + 3) + (x^2 + 1)(1) \]

\[ = 2x(x + 3) + x^2 + 1 \]

\[ = 2x^2 + 6x + x^2 + 1 = 3x^2 + 6x + 1 \]

Contoh 3: Turunan Pembagian

Diketahui \( f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1} \), maka turunannya:

\[ f'(x) = \frac{(x^2 + 2x)'(x + 1) - (x^2 + 2x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \]

\[ = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x)(1)}{(x + 1)^2} \]

\[ = \frac{2x^2 + 2x + 2x + 2 - x^2 - 2x}{(x + 1)^2} \]

\[ = \frac{x^2 + 2}{(x + 1)^2} \]