Materi Matematika Kelas 11 Bab 10 - Polinomial

1. Pengertian Polinomial

Polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel dan koefisien dengan operasi penjumlahan, pengurangan, serta perkalian variabel dengan pangkat bilangan bulat tak negatif.

Bentuk umum polinomial derajat \( n \) adalah:

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

di mana:

• \( a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 \) adalah koefisien.
• \( x \) adalah variabel.
• \( n \) adalah derajat polinomial, yaitu pangkat tertinggi dari variabel \( x \).

2. Operasi pada Polinomial

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Jika terdapat dua polinomial:

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \]

\[ Q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0 \]

Maka hasil penjumlahan dan pengurangannya adalah:

\[ (P \pm Q)(x) = (a_n \pm b_n)x^n + (a_{n-1} \pm b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 \pm b_0) \]

b. Perkalian

Jika \( P(x) \) dan \( Q(x) \) adalah polinomial, maka hasil perkaliannya adalah:

\[ (P \cdot Q)(x) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} (a_i \cdot b_j) x^{i+j} \]

c. Pembagian Polinomial

Pembagian polinomial dapat dilakukan menggunakan metode pembagian panjang atau skema Horner.

Jika \( P(x) \) dibagi dengan \( (x - c) \), maka hasilnya dapat ditentukan dengan skema Horner:

\[ P(x) = (x - c) Q(x) + R \]

di mana \( Q(x) \) adalah hasil bagi dan \( R \) adalah sisa pembagian.

3. Teorema Sisa

Teorema sisa menyatakan bahwa jika suatu polinomial \( P(x) \) dibagi oleh \( (x - c) \), maka sisanya adalah:

\[ R = P(c) \]

Artinya, untuk menentukan sisa pembagian \( P(x) \) oleh \( (x - c) \), cukup substitusi \( x = c \) ke dalam \( P(x) \).

4. Faktorisasi Polinomial

Faktorisasi polinomial bertujuan untuk menyatakan polinomial dalam bentuk perkalian faktor linear atau kuadratik.

Jika \( P(x) \) memiliki akar \( x_1, x_2, \dots, x_n \), maka dapat difaktorkan sebagai:

\[ P(x) = a (x - x_1)(x - x_2) \dots (x - x_n) \]

5. Contoh Soal

• Hitung hasil dari \( (3x^2 + 5x - 2) + (2x^2 - 3x + 4) \).
• Gunakan skema Horner untuk membagi \( P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 3 \) dengan \( (x - 2) \).
• Faktorkan polinomial \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \).